SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn: TOÁN (Chuyên)
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 31/5/2016

Câu 1 (3,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức
với
.
b) Giải phương trình
.
c) Giải hệ phương trình
.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố
thỏa mãn
.
b) Cho đa thức
. Biết b, c là các hệ số dương và
có nghiệm. Chứng minh
.
Câu 3 (1,0 điểm).
Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn
. Chứng minh:


Câu 4 (3,0 điểm).
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B (OO’ > R > R’). Trên nửa mặt phẳng bờ là OO’ có chứa điểm A, kẻ tiếp tuyến chung MN của hai đường tròn trên (với M thuộc (O) và N thuộc (O’)). Biết BM cắt (O’) tại điểm E nằm trong đường tròn (O) và đường thẳng AB cắt MN tại I.
a) Chứng minh
và I là trung điểm của MN.
b) Qua B, kẻ đường thẳng (d) song song với MN, (d) cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D (với C, D khác B). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của CD và EM. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACD và các điểm A, B, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh tam giác BIP cân.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Chứng minh
.
------------ HẾT ------------
Chữ ký của giám thị 1: …………………………………………………………………………….
Họ và tên thí sinh: ……………………………..………...… Số báo danh ……………………….
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2016 – 2017

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN THI: TOÁN (Chuyên)
(Hướng dẫn này gồm 04 trang)
Câu
Nội dung
Điểm

1a.
Rút gọn biểu thức
với







0,25




0,25


Do với
thì
nên

0,25


Vậy

0,25

1b.
Giải phương trình
(1)




Điều kiện xác định:

(1)

0,25





hoặc

0,25



(thỏa mãn điều kiện)
0,25



(thỏa mãn điều kiện)
0,25

1c.
Giải hệ phương trình





Điều kiện:

Đặt

. Ta có hệ

0,25


Thế
vào phương trình còn lại ta được:



0,25


Do đó
. Ta được hệ

0,25



(thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ có nghiệm


0,25

2a.
Tìm tất cả các cặp số nguyên tố
thỏa mãn







0,25


Do
và q nguyên tố nên
chỉ có thể nhận các giá trị

0,25


Ta có bảng giá trị tương ứng
p – 2
p + 2
p
q

1


3
1

5


7
3

q
5q
3
1



5
3
1


0,25


Do p, q là các số nguyên tố nên chỉ có cặp
thỏa mãn.
0,25

2b.
Cho đa thức
. Biết b, c là các hệ số dương và
có nghiệm. Chứng minh
.





có nghiệm

0,25




0,25




0,25


Do đó

0,25


Cách 2:
Theo hệ thức Vi – et ta có
,

0,25


Do b, c dương nên
chỉ có nghiệm âm

0,25


Đặt
thì
và



0,25





0,25

3.
Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn
. Chứng minh:

(*)




Ta có

0,25


Tương tự
,
.
Đặt vế trái của (*) là P. Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được:


0,25


Lại có
.
0,25


Từ giả thiết suy ra
.
Do đó
.
0,25

4a.
Hình vẽ (Học sinh vẽ đúng đến câu a.)


0,25


Chứng minh
và I là trung điểm của MN.




Ta có

0,25




0,25





0,25


Tương tự ta có
.
Do đó IM = IN nên I là trung điểm của MN.
0,25

4b.
Chứng minh tam giác AME đồng dạng tam giác ACD và các điểm A, B, P, Q cùng thuộc một đường tròn.





;
(tứ giác AEBD nội tiếp)


0,25




0,25




0,25



. Vậy tứ giác ABPQ nội tiếp.
0,25

4c.
Chứng minh tam giác BIP cân.




Gọi K là giao điểm của CM và DN. Do CDNM là hình thang nên các điểm I, K, P thẳng hàng.
0,25


MN // BC

cân tại M
.
Do MN // BC nên
. Suy ra

Chứng minh tương tự ta được
. Do đó

0,25


MB = MK, NB = NK nên MN là trung trực của KB
.
Tam giác KBP vuông tại B có IK = IB nên I là trung điểm KP.
Vậy tam giác BIP cân tại I.
0,25

5.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có trực tâm là H. Chứng minh:
.






Gọi D, E, F lần lượt là các chân đường cao tương ứng kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
Đặt
.
Ta có

0,25




0,25


Tương tự, ta có
.


0,25


Lại có
nên

Vậy

0,25

……………HẾT……………