đề thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn (1)
môn: toán chung . gian: 150`
( Tham khảo " Đề thi học sinh giỏi Liên xô" )



Bài I: (2 điểm )
Cho
là ba số khác nhau từng đôi một,
.
Chứng minh rằng nếu các phương trình:
và
có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm thứ hai của các phương trình đó thỏa mãn phương trình


Bài II: (2 điểm )
Gọi
=
,

.
Tìm tất cả các giá trị của
sao cho


và
có giá trị nguyên

Bài III: (2 điểm )
Giải phương trình nghiệm nguyên:

Bài IV: ( 1 điểm )
Cho a > 0 , chứng minh




Bài V: ( 3 điểm )
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC , các tiếp điểm tại D, E, F . Chứng minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đường tròn xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác DEF









đáp án thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn
môn toán chung ( Gồm 2 tờ )

Bài I: 2 điểm. ( Mỗi mục
tương ứng cho 0,5 điểm )

Ta gọi
là nghiệm chung của hai phương trình:
,
và
,
. Và
,
lần lượt là các nghiệm thứ hai của
và
, với
. Khi đó ta có:





,

.

Mặt khác, áp dụng định lý Viét cho
và
ta có:

,


,
.

Ngoài ra:
,


,


Kết hợp
với
ta đợc
. Nh vậy ta có:
và


và
là nghiệm của phương trình
.đpcm

Bài II: 2điểm. ( Mỗi phần
tương ứng cho 0,5 điểm )

Chú ý rằng:
,


Suy ra
=
=



nhận giá trị nguyên , khi
là một số chính phương . Dạng


Kết hợp với điều kiện
, suy ra tập các giá trị của n thỏa mãn các yêu cầu của bài toán là:


Bài III: 2điểm. ( Mỗi mục
tương ứng cho 1,0 điểm )

Với điều kiện:

Ta có:
,




















Nhận xét: Từ


, vì vậy


.Phương trình có nghiệm tự nhiên x = y = z = 1, lại do
suy ra các nghiệm nguyên của phương trình
là:

,
,
,


Bài IV: 1điểm. ( Mỗi mục
tương ứng cho 0,5 điểm )

Ký hiệu: xn =
, ta có xn > 0 với
n
1
Ta chứng minh xn-1< xn với
n > 1

+ Ta có:
<

x1< x2
+ Giả sử với n = k - 1 > 0, ta có xk-1< xk . Khi đó :


xk+1> xk. Theo nguyên lý quy nạp suy ra: xn-1< xn






. Vậy


. đpcm

Bài V: 3điểm ( Mỗi mục
tương ứng cho 1,0 điểm )

Bổ đề: Khoảng cách từ một điểm trên đờng tròn đến đờng thẳng qua hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến với đờng tròn là trung bình nhân khoảng cách từ điểm ấy đến 2 tiếp tuyến .

Xét hai tiếp tuyến AB và AC , M
(O)
Hạ các đờng vuông góc MK, MH, ML xuống các tiếp tuyến AB, AC và dây EF

( chắn cung
).

(------------
)
Suy ra các tam giác MEN