TRƯỜNG THCS THANH MAI

ĐỀ CHÍNH THỨC


KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 VÒNG I
NĂM HỌC 2013-2014.
MÔN THI: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)


Bài 1: ( 2.0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A =

b) Chứng minh B = a5 - 5a3 + 4a chia hết cho 120.
c) Tìm số nguyên m để C =
là số nguyên.
Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

Bài 3: ( 2.5 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức M =

b) Cho x; y là các số thực thỏa mãn
Tính N = x2 + y2
Bài 4: ( 3.0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
a) Chứng minh: tanB.tanC =

b) Chứng minh:

c) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Chứng minh rằng:

Bài 5: (0.5 điểm) Chứng minh rằng trong 2n+1 - 1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n số có tổng là một số chẵn.
Hết ./.

Họ và tên thí sinh: .............................................................Số báo danh:.....................



TRƯỜNG THCS THANH MAI


ĐÁP ÁN THI HSG MÔN: TOÁN 9
NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)

TT
Ý
Nội dung
Điểm

Bài 1
(2.5 điểm)
a
A =
=

A =

A =

0.25


0,5

0.25


b
B = a5 - 5a3 + 4a = a(a4 - 5a2 +4) = a(a4 - a2 - 4a2+4)
B = a[a2(a2 - 1) - 4(a2 - 1)] = a(a2 - 1)(a2 - 4)
B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 120
0.25
0.5
0.25


c
Để C =
là số nguyên thì



Học sinh tìm được m = 0; m = -1

0,25

0,25

Bài 2
a
ĐK
,






Với
Pt vô nghiệm; với
bình phương hai vế HS tìm được x =


0.25

0.25



0.25


b
Đk:
,



0.25
0.5


c
Đặt
phương trình trở thành

4xy - y = 2y2 - 2x
2y2 - 2x - 4xy + y = 0

y(2y +1) - 2x(2y + 1) = 0
( 2y + 1)(y - 2x) = 0
y = 2x (vì y = -1/2 loại).





0.25

0.25

Bài 3
a
Đk:
.
*)Ta có M2 = (
)2





Nếu M = 5 thì M2 = 25 dấu bằng BĐT xảy ra

và

x = 2. Vậy max M = 5 khi x = 2.
*) Theo trên thì
nhưng giá trị nhỏ nhất của M không bằng - 5 vì


vậy min M =
khi x =



0.5


0.5
0,25

0.5


b
ĐK:
.theo bài ra ta có

=

Dấu bằng xảy ra khi:
và
hay x2 = 1- y2 hay x2 + y2 = 1 vậy N = 1

0,25

0,25

0,25

Bài 4



0.25


a
Ta có tanB =
; tanC =

tanB.tanC =
(1)
Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có
vì cùng phụ với góc C nên ta có :



(2)
Từ (1) và (2)
tanB.tanC =
.
0.5

0.25


0.25

0,25


b
Theo câu a. ta có:

1.0



c


Gọi Ax là tia phân giác góc A, kẻ BM; CN lần lượt vuông góc với Ax